Урок 3. Віднімання натуральних чисел. Компоненти дії віднімання

Коли потрібно виконати дію віднімання?

Перед тим як ми дамо визначення поняттю віднімання, розглянемо невеличкі задачі. З їх допомогою зрозуміємо, в яких випадках виникає необхідність у відніманні.

Задача 1. В перший день монтажники встановили 20 дверей в будинку, на другий день – лише 10. Скільки дверей встановили майстри за 2 дні?

Вирішення: 20+10=30 дверей встановлено за 2 дні

Як бачимо, монтажна бригада заздалегідь підготувала 30 дверей, щоб встановити їх в будинку. Тобто сума була вже відомою. Після того як в перший день було встановлено 20 дверей, виникає запитання -  скільки дверей залишилось встановити? Тобто потрібно знайти залишок – від відомої суми відняти відомий доданок.

Задача 2. Микиті подарували 15 наліпок. 9 наліпок він вже використав. Скільки наліпок залишилось?

Задача 3. Олеся нарвала букет квітів з 21 троянди. Наступного дня 4 троянди зів’яли, скільки троянд залишилось.

В даному типі задач відоме загальне число предметів (сума), а також один з доданків і необхідно знайти другий доданок. Такі завдання розв’язуються шляхом виконання дії віднімання.

Що таке віднімання? Компоненти дії віднімання: як називаються числа при відніманні?

Віднімання – це арифметична дія, за допомогою якої за даною сумою і одним даним доданком знаходимо другий доданок. Тобто віднімання є оберненою дією до додавання.

Відняти від одного числа друге означає знайти таке третє число, яке в сумі з другим дає перше. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Число, від якого віднімають, називається зменшуваним. Число, яке віднімають, називається від’ємником. Число, яке дістаємо в результаті дії, називається різницею. Віднімання можливе тоді, коли зменшуване більше за від’ємник.

Тобто основні компоненти віднімання – зменшуване, від’ємник, різниця. Знак – (мінус) ставимо між зменшуваним та від’ємником.

Розв’язання задачі 2.

15-9=6 – наліпок залишилось у Микити. В цьому випадку 15 – зменшуване, 9 - від’ємник, 6 – різниця.

Розв’язання задачі 3.

21-4=17 – троянд залишилось в Олесі. 21 - зменшуване, 4 - від’ємник, 17 – різниця.

Деякі властивості віднімання:

Віднімання нуля

якщо від числа відняти нуль, то число не зміниться

Наприклад, 100 - 0 = 100; 13 - 0 = 13; 27 - 0 = 27.

Рівність зменшуваного і від’ємника

Якщо зменшуване дорівнює від’ємнику, то різниця чисел буде рівною нулю

 Наприклад, 56 - 56 = 0; 8 - 8 = 0; 123 - 123 = 0.

Віднімання суми від числа

Щоб відняти суму від числа, достатньо відняти від цього числа перший доданок, а від знайденої різниці – другий доданок і т. д.

Наприклад, 46 - (7 + 6) = 46 – 6 -7 = 40 – 7 = 33; або 23 - (4 + 3) = 23 - 3 - 4 = 20 - 4 = 16.

Запишемо дану властивість за допомогою букв: а – зменшуване, b і c – доданки суми, що віднімається

Віднімання числа від суми

Щоб відняти число від суми, достатньо відняти це число від якого-небудь одного доданка  і одержану різницю додати до суми решти доданків. Важливе уточнення, в даному випадку діє припущення, що доданок більший від від’ємника.

Приклад 1. (47+ 24) – 17 = (47 – 17) + 24 = 54

Приклад 2. (29 + 45) – 15 = 29 + (45 – 15) = 29 + 30 = 59

Додавання різниці

Для того, щоб додати різницю чисел до певного числа, достатньо додати до нього зменшуване і від знайденої суми відняти від’ємник.

30 + (44 – 14) = 30 + 44 – 14 = 60, або

30 + 44 = 74, 74 – 14 = 60

Віднімання різниці

Щоб відняти різницю від числа, досить відняти від нього зменшуване (якщо це можливо) і до знайденої різниці додати від’ємник.

У буквеному виразі дана властивість виглядає так:

50 – (25 – 15) = 50 – 25 + 15 = 40

Зміна суми і різниці

Якщо один з доданків зменшити на якесь число n, то на те саме число зменшиться і сума

a + b = c,  то  

(a – n) + b = c – n

Наприклад:

17 + 6 = 23

(17 – 4) + 6 = 23 - 4

Як бачимо, дія віднімання має багато властивостей, які можна використовувати для розв'язання тих чи інших прикладів та задач.

Як знайти невідоме зменшуване? Задача на знаходження невідомого зменшуваного

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник

Задача. Сьогодні всі діти першого класу прийшли на уроки. Під час занять 15 дітей поїхали на екскурсію, а 12 дітей залишились. Скільки дітей навчається у першому класі?

В цій задачі необхідно знайти невідоме зменшуване. Адже в нас була певна кількість дітей в класі (це і є зменшуване), частина дітей поїхала – від’ємник, і залишилось 12 дітей – різниця.

За правилом, щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати від'ємник. Тому 15+12=27 – загальна кількість дітей у класі.

Як знайти невідомий від’ємник?

Щоб знайти невідомий від’ємник треба від зменшуваного відняти різницю

Якщо а – зменшуване, b - від’ємник, с – різниця, то

a – b = c, 

b = a – c.

Якщо зменшуване зменшиться на якесь число, то й різниця зменшиться на те саме число

a – b = c,  тому  

(a – n) – b = c – n.

Наприклад, 78 – 8 = 70

(78 – 5) – 8 = 70 – 5

Якщо від’ємник збільшити (зменшити) на якесь число, то різниця зменшиться (збільшиться) на те саме число, тобто якщо

a – b = c,  тому 

a – (b + n)= c – n.

a – b = c,  тому  

a – (b – n)= c + n.

Наприклад:

35 – 11 = 24; 35 – (11+5) = 24 – 5

35 – 11 = 24; 35 – (11-5) = 24 + 5

Якщо зменшуване і від’ємник збільшити (чи зменшити) на те саме число, то різниця не зміниться.

a – b = c,  то  

(a + n) – (b + n) = c.

a – b = c,  то  

(a – n) – (b – n) = c

48 – 16 = 32

(48 – 8) – (16 – 8) = 32

Задача на знаходження невідомого від’ємника

Задача. Мама купила дітям 10 апельсин. Коли діти з’їли декілька штук, в них залишилось 4 апельсин. Скільки апельсин з’їли діти?

Запишемо коротку схему:

Було – 10, з’їли - ?, залишилось  - 4.

Тобто 10 - ? = 4.

За правилом, щоб знайти невідомий від'ємник, треба від зменшуваного 10 відняти різницю 4. Адже в цьому випадку зменшуване – це число 10, від'ємник – кількість апельсин, що з’їли діти, різниця – 4.

10-4 = 6 апельсин з’їли діти.

Таблиця віднімання в межах 10

Для розв’язання прикладів і тренування математичних здібностей першокласників рекомендуємо користуватись нашою таблицею віднімання до 10:

Віднімання в стовпчик і по розрядах. Письмове віднімання багатоцифрових чисел

Найпростіші способи віднімання трицифрових або багатоцифрових чисел – по розрядах або в стовпчик. Розглянемо на прикладі.

Приклад 1.

348 – 116

Запишемо дані числа у вигляді розрядів: (300 + 40 + 8) – (100 + 10 + 6)

Віднімаємо по розрядах: (300 – 100) + (40 - 10) + (8 – 6) = 200 + 30 + 2 = 232

Віднімемо у стовпчик:

Приклад 2.

Розглянемо дещо складніший приклад, в якому кількість одиниць в зменшуваному менша кількості одиниць у від’ємнику.

681 – 328

В даному прикладі в розряді одиниць потрібно відняти від 1 число 8. Для цього необхідно «позичити» один десяток з 8 десятків. На місці одиниць отримаємо 11-8=3 одиниці. Тепер віднімаємо розряд десятків – в розряді десятків зменшуваного залишилось 7 десятків (1 десяток ми «позичили»), тому 7-2 = 5 десятків. Виконаємо віднімання в розряді сотень: 6 сотень – 3 сотні = 3 сотні

Над цифрою 8 ми поставили крапку (при бажанні її можна не ставити), яка нагадує про «позичання» 1 десятка для віднімання в розряді одиниць.

Перевірка дії віднімання

Виконуючи арифметичні дії, важливо переконатись у їх правильності. Перевірити результат віднімання можна додаванням або відніманням.

Для того, щоб перевірити віднімання, можна від зменшуваного відняти різницю. Якщо після цього дістанемо від’ємник, то віднімання виконано правильно.

Для того, щоб перевірити віднімання, треба додати від’ємник і різницю. Якщо результат дорівнюватиме зменшуваному, то віднімання виконано правильно.

Дії першого ступеня з натуральними числами

Додавання і віднімання є арифметичними діями першого і другого ступеня. Якщо у виразі відсутні дужки і є лише дії першого ступеня, то їх виконують у тому порядку, в якому вони написані - зліва направо.

Наприклад, 6 + 3 – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 7 + 4 =11

Способи швидкого додавання і віднімання багатоцифрових чисел. Приклади на віднімання

Спосіб округлення. Даний спосіб варто використовувати тоді, коли один з компонентів є близьким до круглих десятків, сотень, тисяч і т.д. Правило округлення звучить так:

Якщо один з доданків, округляючи, збільшити на кілька одиниць, то від одержаної суми треба відняти стільки ж одиниць.

Наприклад, 138 + 492 = 138 + (492 + 8) – 8 = 138 + 500 – 8 = 638 – 8 = 630

Якщо один з доданків збільшимо на кілька одиниць, а другий зменшимо на стільки ж одиниць, сума не зміниться.

697 + 242 = 700 + 239 = 939

Якщо від’ємник при округленні збільшимо на кілька одиниць, то, щоб різниця не змінилася, треба і зменшуване збільшити на стільки ж одиниць.

3587 – 994 = 3593 – 1000 = 2593

Якщо зменшуване при округленні зменшимо на кілька одиниць, то до одержаної різниці треба додати стільки ж одиниць.

8012 – 2650 = 8000 – 2650 + 12 = 5350 + 12 = 5362

Крім способів округлення для швидкого додавання і віднімання варто використовувати їхні основні властивості.

Розв’яжемо декілька прикладів з використанням властивостей додавання та віднімання.

156 + 382 + 444 = (156 + 444) + 382 = 600 + 382 = 982

857 + 232 – 107 = (857 – 107) + 232 = 750 + 232 = 982

642 – 254 – 46 = 642 – (254 + 46) = 642 – 300 = 342