Що таке логарифмічні рівняння?
Логарифмічні рівняння – це рівняння, в яких невідомі входять під знак логарифма.
Розв’язання логарифмічних рівнянь схоже до розв’язання показникових рівнянь відсутністю загального методу. Проте виділяють декілька груп логарифмічних рівнянь, що розв’язуються елементарними методами.
Часто при розв’язанні логарифмічних рівнянь логарифмують і потенціюють обидві частини рівняння, що може привести до рівнянь, не рівносильних до даних. Оскільки для виразів А і В, які містять невідомі, не завжди будуть рівносильними такі рівняння:
Розв’язання логарифмічних рівнянь: приклади
Розглянемо найпростіше логарифмічне рівняння, яке має такий вигляд:
де а – додатне число, що не дорівнює одиниці
При будь-якому дійсному значенні b рівняння має один єдиний розв'язок:
Приклад 1
Розв’язати рівняння:
Розглянемо логарифмічне рівняння наступного вигляду:
Введемо невідоме t = f(x), що дозволить звести дане рівняння до найпростішого логарифмічного рівняння, розв’язок якого ми вже розглядали вище.
Приклад 2
Розв’яжіть логарифмічне рівняння:
Спочатку визначимо область допустимих значень для х, нею буде вся числова вісь х, оскільки при будь-яких значеннях х:
Згідно визначення логарифма:
Розглянемо логарифмічне рівняння наступного вигляду з елементарними алгебраїчними функціями:
Розв’язання даного рівняння рівносильне розв’язанню наступного рівняння:
f(x) = φ (x)
Тому ми можем знайти розв’язки даного рівняння і серед них вибрати ті, які належать до області допустимих значень логарифмічного рівняння
Приклад 3
Розв’яжіть логарифмічне рівняння:
Спочатку визначимо область допустимих значень: х > 0
Використовуючи логарифмічні перетворення, внесемо коефіцієнти перед логарифмами під логарифми. Отримаємо таке рівняння:
Розв’язками даного рівняння є такі значення х:
Оскільки область допустимих значень логарифмічного рівняння – додатні значення х, тому наше рівняння має один єдиний розв’язок:
Розглянемо логарифмічне рівняння наступного вигляду:
Для розв’язання даного логарифмічного рівняння його необхідно звести до такого виду:
Приклад 4
Розв’яжіть логарифмічне рівняння:
lg (3х – 11) + lg (х – 27) = 3
В першу чергу визначимо область допустимих значень для х:
Це означає, що загальна область допустимих значень х буде
х ˃ 27
Виконавши логарифмічні перетворення і записавши число 3 як lg 1000, отримаємо таке рівняння:
lg [(3х – 11)(х – 27)] = lg 1000
(3х – 11)(х – 27) = 1000
Враховуючи область допустимих значень лограрифмічного рівняння (х ˃ 27), відкидаємо другий корінь. Тому рівняння має єдиний корінь:
х = 37
Розглянемо логарифмічне рівняння наступного вигляду:
Введемо заміну t = g(x) і зведемо рівняння до такого вигляду:
F(t) = 0
Приклад 5
Розв’яжіть логарифмічне рівняння:
Область допустимих значень х > 0. Оскільки
(lg х – 5) 3lg х + 18 = 0
lg х = t, отримаємо
Тепер нам потрібно розв’язати прості логарифмічні рівняння:
lg х = 2 і lg х = 3
коренями яких є числа: 100 і 1000
Обидва корені відповідають області допустимих значень х.