Що таке логарифм?
Логарифмом числа N за даною основою а називається показник степеня х, до якого треба піднести основу а, щоб одержати число N.
Як читати і як позначається логарифм?
Логарифм позначається так:
Використовуючи визначення логарифму, можемо записати наступне:
Або
Заведено вважати, що основа є додатною і не дорівнює одиниці
Основною логарифмічною тотожністю називають формулу
Приклад
Наведемо декілька прикладів логарифмів:
Основні властивості логарифмів
Пропонуємо ознайомитись з властивостями логарифмів, які варто застосовувати при обчисленні логарифмічних рівнянь і нерівностей:
- Логарифм від одиниці з будь-якою основою дорівнює нулю
адже будь-яке число в нульовій степені дорівнює одиниці.
- Логарифм від числа, яке дорівнює основі, дорівнює одиниці
- При будь-якій (додатній) основі від’ємні числа не мають логарифмів;
- Якщо основа логарифму більша за одиницю, то більшому числу відповідатиме і більший логарифм. При цьому логарифми чисел, більших за одиницю, є додатніми, а логарифми чисел, менших за одиницю, - від’ємними;
- Якщо основа логарифму менша за одиницю, то більшому числу відповідатиме менший логарифм. При цьому логарифми чисел, менших за одиницю, додатні, а логарифми чисел, більших за одиницю, від’ємні;
- Якщо основа логарифмів більша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа необмежено зростає і його логарифм, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено зростає за абсолютною величиною;
- Якщо основа логарифма менша за одиницю, то при необмеженому зростанні числа його логарифм, залишаючись від’ємним, необмежено спадає, а при наближенні додатного числа до нуля його логарифм необмежено зростає.
Приклади, як знайти та порівняти логарифми
Вищеперераховані властивості логарифмів візьмемо за основу розв’язання логарифмів
Приклад 1
Обчислити, яке число має логарифм 2 при основі, що дорівнює 7.
Оскільки згідно визначення логарифмом числа х за даною основою 7 називається показник степеня 2, до якого треба піднести основу 7, щоб одержати число х.
Тобто, число 49 має логарифм 2 при основі 7
Приклад 2
Знайти логарифм числа 125 за основою 5
Приклад 3
Обчисліть, при якій основі логарифм числа 16 дорівнює 4.
Приклад 4
Порівняти логарифми і визначити, що більше:
Очевидно, що результат порівняння залежатиме від значення основи а. Тому варто врахувати наступну властивість логарифму: якщо основа (а) більше одиниці, то більшому числу відповідає й більший логарифм, тобто
при a > 1
І навпаки, якщо основа логарифму є меншою за одиницю, то більшому числу відповідає менший логарифм:
при a < 1, при чому а ˃ 0, а ≠ 1
Десятковий логарифм
Десятковий логарифм – це логарифм при основі 10. Такий логарифм має спеціальне позначення lg – тобто, скорочений запис і основа 10 не вказується.
Як же перейти від десяткового логарифму до натурального і навпаки?
Щоб знайти натуральний логарифм числа N, якщо відомо його десятковий логарифм, треба поділити десятковий логарифм числа N на десятковий логарифм числа е.
Число lg e = 0,4343 називають модулем десяткових логарифмів і позначають буквою М:
Щоб знайти десятковий логарифм числа, якщо відомий його натуральний логарифм, треба помножити натуральний логарифм на модуль десяткових логарифмів М = lg е:
lg N = lg е × ln N =
М × ln N = 0,4343 ln N
Наприклад,
ln 5 = 1,6094, а тепер можемо обчислити логарифм десятковий числа 5:
lg 5 = М × 1,6094= 0,4343 × 1,6094 = 0,699
Калькулятори логарифмів
Команда сайту розробила спеціальні калькулятори для швидкого знаходження логарифмів. Тому ви можете перевірити свої обчислення з допомогою наших онлайн сервісів: